第７章 「数学原理ーその哲学的側面」 n.6 - 論理的矛盾に無関心でいられる人
『数学の諸原理』(The Principles of Mathematics, 1903)において，私はこのパラドクスの解答（解決策）を発見したとは言わなかった。この本の序文の中で、私は次のように言った。「非常に多くの未解決の問題（難問）を含んでいる書物を出版することに対する私の弁解は、いろいろ調べた結果、本書の第十章で論じた論理的矛盾（パラドクス）を十分に解決することや集合の本性についてよりよい洞察を得ることが、近い将来にはまったく期待できないことを明らかにしたということである。しばらくの間私に満足を与えた解決策に繰り返し誤まりを発見すること（経験）によって、私は、これらの問題は、もう少し長く考えれば生みす可能性がある,一見満足な理論に見えるいかなるものによっても（これまで）隠されてきただけのもの（問題）である,と私に思わせた。それゆえ、間違っていることがほとんど確かな何らかの学説を真であると確信するまで待つよりも、単に困難（な問題）について述べるだけにしたほうがよりよい（まし）だと思われた」。そして論理的矛盾（パラドクス）を論じたこの章の終りで私はこう言っている。「上記の論理的矛盾（パラドクス）の中には何ら特別な哲学は含まれておらず（関係しておらず）、これらの論理的矛盾は常識から直接生じており、常識のもつ何らかの仮定を捨てることによってのみ解決可能である。矛盾の上に反映する（矛盾を糧とする）ヘーゲル哲学のみが、（論理的矛盾に）無関心でいられる。なぜなら、ヘーゲル哲学は、同様な問題をいたるところに見出すからである（注：ヘーゲリアンにとって、矛盾の存在は気にならない当たり前のこと、と言ったニュアンス？）。(ヘーゲル哲学以外の)他の全てに学説においては、このような直接的な挑戦は、解答を要求するが、それには、無力を告白するという痛みが伴う。けれども、幸いにも、『数学の諸原理』の他のどの部分においても、私の知る限り、上と同様な他の矛盾は生じていない」（と）。この本の巻末付録の一つにおいて私は、「型の学説（タイプ理論）」（the doctrine of types）を一つの可能な解決策として提示した。結局私は、解決がこの説によって見出されうることを確信するにいたったが、当時『数学の諸原理』を書いた時には,私はこの説を粗雑な形で展開したのみであり、その形式ではその説は不完全なものであった。当時私が達した結論は同書の最後の節に述べられている。「要するに、第十章の特殊な矛盾は型の学説（タイプ理論）によって解決されると思われるが、この学説によってはおそらく解けないと思われるところの、きわめて似通った論理的矛盾が、少なくとも一つ存在している。すなわち、あらゆる論理的対象の全体、あるいはあらゆる命題の全体が、根本的な論理的困難を含んでいる（伴っている）、と思われる。この困難の完全な解決策がいかなるものであるかを、私は（いままでのところ）発見していない。しかし、それは（人間の）推理の基礎そのものを左右する難問であるので、論理学の研究者の全てがこの間題の研究に注意を払われることを、私は心から推奨するしだいである。」
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Chapter 7: Principia Matematica: Philosophical Aspects, n.6
In The Principles of Mathematics I did not profess to have found a solution. I said in the preface to that work: 'For publishing a work containing so many unsolved difficulties, my apology is, that investigation revealed no near prospect of adequately resolving the contradiction discussed in Chapter X, or of acquiring a better insight into the nature of classes. The repeated discovery of errors in solutions which for a time had satisfied me caused these problems to appear such as would have been only concealed by any seemingly satisfactory theories which a slightly longer reflection might have produced; it seemed better, therefore, merely to state the difficulties, than to wait until I had become persuaded of the truth of some almost certainly erroneous doctrine.' And at the end of the chapter discussing the contradiction, I say: 'No peculiar philosophy is involved in the above contradiction, which springs directly from common sense, and can only be solved by abandoning some common-sense assumption. Only the Hegelian philosophy, which nourishes itself on contradictions, can remain indifferent, because it finds similar problems everywhere. In any other doctrine, so direct a challenge demands an answer, on pain of a confession of impotence. Fortunately, no other similar difficulty, so far as I know, occurs in any other portion of The Principles of Mathematics. In an appendix at the end of the book I suggested the doctrine of types as affording a possible solution. I ultimately became convinced that the solution is to be found by this doctrine, but at the time when I wrote The Principle of Mathematics I had developed only a crude form of the doctrine, and in this form it was inadequate. The conclusion I came to at that time is expressed in the last paragraph of the book: 'To sum up: it appears that the special contradiction of Chapter X is solved by the doctrine of types, but that there is at least one closely analogous contradiction which is probably not soluble by this doctrine. The totality of all logical objects, or of all propositions, involves, it would seem, a fundamental logical difficulty. What the complete solution of the difficulty may be, I have not succeeded in discovering ; but as it affects the very foundations of reasoning, I earnestly commend the study of it to the attention of all students of logic.’
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